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锁相环（PLL）非线性分析基础：相位检测器和VCO建模

锁相环（PLL）是一种负反馈控制系统，能够跟踪输入信号的相位和频率，广泛应用于通信、频率合成、时钟恢复等领域。在PLL的非线性分析中，相位检测器（鉴相器）和压控振荡器（VCO）的建模是核心环节。

一、相位检测器（鉴相器）建模

1. 理想鉴相器

• 理想鉴相器的输出信号与输入信号之间的相位差成正比，其输出（vout）可表示为：$v_{out}=k_d\cdot \Delta \varphi$，其中，$k_d$是鉴相器增益，单位为V/rad；$\Delta \varphi$是输入信号之间的相位差。

• 理想鉴相器具有线性响应，即输出与相位差之间呈线性关系。

2. 实用鉴相器

• 实用鉴相器通常表现出非线性输入输出特性，但在环路锁定点周围的窄相位范围内，可以假设存在线性关系。

• 在输入和VCO输出都是正弦波的PLL中，最常用的鉴相器是模拟乘法器后跟低通滤波器。这种鉴相器被称为乘法器鉴相器或正交鉴相器。

• 乘法器鉴相器的输出随相位差呈正弦变化。当环路增益足够大时，PLL在鉴相器输出为零时锁定。对于乘法器鉴相器，当输入与VCO输出的相位差为90度时，环路实现锁定。

• 鉴相器增益是相位差的函数，且在一个周期内存在两个使输出为零的点。PLL将锁定到与负反馈系统相关的点，而另一个点则处于亚稳态。

3. 鉴相器建模要点

• 在建模时，可以假设环路锁定点周围的窄相位范围内存在线性关系，并定义鉴相器增益为此时特性的斜率。

• 鉴相器模型可以作用于输入相位角而非输入信号本身，从而简化分析。

• 鉴相器增益可能受输入信号幅度影响，设计时需考虑输入信号电平的变化。

二、压控振荡器（VCO）建模

1. VCO基本特性

• VCO的输出频率与其自由振荡频率的差值与控制电压成正比。其表达式为：${\omega }_{out}={\omega }_c+k_{vco}\cdot v_{cont}$，其中，${\omega }_{out}$是VCO的输出频率；${\omega }_c$是VCO的自由振荡频率；$k_{vco}$是VCO增益系数，单位为弧度/秒/伏特（rad/sV）；$v_{cont}$是控制电压。

2. VCO建模方法

• 时域模型：对VCO的输出频率表达式进行积分，得到总相位（即输出正弦信号的辐角），从而建立时域模型。分析时仅关注多余相位（即辐角的第二项）。

• 频域模型：对时域模型进行拉普拉斯变换，得到VCO在频域的传递函数。

3. VCO建模要点

• VCO的频率随控制电压几乎瞬时变化，但其输出相位涉及积分运算，因此会保留历史值。

• VCO增益系数$k_{vco}$是PLL设计中的重要参数，它影响PLL的环路带宽和稳定性。

• 在建模时，需考虑VCO的相位噪声特性，这对PLL的整体性能有重要影响。